凯发k8娱乐真人旗舰厅(中国)首页登录✿◈◈。k8凯发·20周年(中国)天生赢家·一触即发✿◈◈。K8凯发娱乐✿◈◈，22.2认识函数的图象（第2课时）课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

　　22.2认识函数的图象（第2课时）课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

　　**基本信息** \n分层清晰✿◈◈，从曲线型✿◈◈、折线型函数图象基础认知✿◈◈，到动态几何✿◈◈、跨学科情境综合应用✿◈◈，再到复杂动点与实际问题探究✿◈◈，梯度递进✿◈◈，强化数学眼光观察✿◈◈、思维推理与语言表达✿◈◈。 \n**分层设计** \n层次知识覆盖设计特色\n------------------------\n基础过关练曲线型✿◈◈、折线型函数图象单一知识点结合甲醛检测✿◈◈、爬山等生活情境✿◈◈，以选择✿◈◈、填空为主✿◈◈，培养几何直观与模型意识\n能力综合练动态几何（矩形✿◈◈、菱形动点）✿◈◈、物理实验等综合应用通过函数图象分析面积✿◈◈、路程变化✿◈◈，提升推理能力与空间观念\n拓展探究练摩天轮周期变化✿◈◈、双动点运动等复杂问题多问设计（填表✿◈◈、求直径✿◈◈、性质分析）✿◈◈，深化创新意识与应用意识

　　22.2认识函数的图象（第2课时） 基础过关练 夯基础 知识点1 曲线．甲醛是一种常见的室内空气污染物✿◈◈，长期接触会对人体健康造成危害✿◈◈，不少家庭会在入住新房时✿◈◈，用便携式甲醛检测仪来检测室内甲醛浓度✿◈◈，当甲醛质量浓度超过时✿◈◈，检测仪就会报警✿◈◈，这种检测仪的核心部件是气敏电阻（如图①中的）✿◈◈，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）✿◈◈，常温常压下✿◈◈，甲醛质量浓度甲醛体积浓度．下列说法不正确的是（   ） A．空气中甲醛质量浓度越大✿◈◈，的阻值越小 B．当时✿◈◈，的阻值为 C．常温常压下✿◈◈，当空气中甲醛体积浓度是时✿◈◈，检测仪报警器为报警状态 D．当时✿◈◈，检测仪报警器为报警状态 【答案】C 【分析】结合图①✿◈◈、图②逐一分析即可． 【详解】解✿◈◈：对于A选项✿◈◈：由图②可知✿◈◈，随着甲醛质量浓度的增大✿◈◈，的阻值逐渐减小✿◈◈，故A选项正确✿◈◈； 对于B选项✿◈◈：由图②可知✿◈◈，当时✿◈◈，✿◈◈，故B选项正确✿◈◈； 对于C选项✿◈◈：甲醛质量浓度甲醛体积浓度✿◈◈， ∴检测仪报警器为不报警状态✿◈◈，C错误✿◈◈，符合题意✿◈◈； 当时✿◈◈，由图②可知对应的甲醛质量浓度✿◈◈， ∴检测仪报警器为报警状态✿◈◈，D正确． 2．如图①✿◈◈，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为✿◈◈，摩天轮绕中心O按逆时针方向匀速转动．摩天轮上的一点P自最低点A点起✿◈◈，经过后✿◈◈，点P的高度h与t的函数图象如图②所示✿◈◈，在摩天轮转动的过程中✿◈◈，下列说法正确的是（    ） A．当时✿◈◈，h随t的增大而增大 B．摩天轮的直径为 C．P点离地面最高为 D．P点离地面时✿◈◈，摩天轮转动了 【答案】C 【分析】根据函数图象获取最高点K8凯发娱乐✿◈◈、最低点坐标及变化趋势花蝶直播浪花直播蝶恋花直播✿◈◈，结合摩天轮的实际几何意义（中心高度✿◈◈、半径✿◈◈、直径）进行判断即可． 【详解】解✿◈◈：由图②可知✿◈◈：函数图象的最高点纵坐标为✿◈◈， 点离地面最高为✿◈◈，故选项C正确✿◈◈； 函数图象显示随的变化呈周期性波动✿◈◈，既有增大也有减小✿◈◈， 当时✿◈◈，随的增大而增大说法错误✿◈◈，故选项A错误✿◈◈； 摩天轮中心距地面✿◈◈，最高点距地面✿◈◈， 摩天轮半径为✿◈◈， 摩天轮直径为✿◈◈，故选项B错误✿◈◈； 观察图象✿◈◈，当和时✿◈◈，的值均为✿◈◈， 点离地面时✿◈◈，摩天轮转动的时间不一定是✿◈◈，故选项D错误． 3．如图1✿◈◈，在中✿◈◈，✿◈◈，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点B✿◈◈，图2是点P运动时✿◈◈，的长度y（单位✿◈◈：）随时间x（单位✿◈◈：s）变化而变化的函数图象．根据所给信息✿◈◈，点C到的距离是_______． 【答案】/厘米 【分析】过点C作于点H✿◈◈，设运动3秒时点P运动到点D✿◈◈，运动5秒时运动到点E✿◈◈，连接✿◈◈，由函数图象得✿◈◈，点C到的距离是线段的长✿◈◈，进而求得✿◈◈，由等腰三角形的性质求得✿◈◈，再由勾股定理即可求解． 【详解】解✿◈◈：如图✿◈◈，过点C作于点H✿◈◈， 设运动3秒时点P运动到点D✿◈◈，运动5秒时运动到点E✿◈◈，连接✿◈◈， 由图2知✿◈◈，和时的函数值都为4✿◈◈，即✿◈◈，当时✿◈◈，函数值最小✿◈◈，即点C到的距离为线段的长✿◈◈， ∴✿◈◈， ∴✿◈◈， ∵✿◈◈，✿◈◈， ∴✿◈◈， 在中✿◈◈，． 即点C到的距离是． 知识点2 折线．爷爷和小强一起爬山✿◈◈，小强让爷爷先上山✿◈◈，然后追赶爷爷✿◈◈，两人都爬上了山顶．图中的两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离与小强爬山所用时间之间的函数关系．下列说法错误的是（   ） A．小强让爷爷先走了分钟 B．小强上山的速度比爷爷平均每分钟快7.5米 C．小强用10分钟爬上山顶 D．爷爷出发8分钟时✿◈◈，小强追上爷爷✿◈◈，此时距山脚240米 【答案】D 【分析】先求出爷爷和小强的速度✿◈◈，然后逐项分析即可． 【详解】解✿◈◈：爷爷的速度✿◈◈：✿◈◈， 小强的速度✿◈◈：． A．小强让爷爷先走了（分钟）✿◈◈，正确✿◈◈； B．小强上山的速度比爷爷平均每分钟快（米）✿◈◈，正确✿◈◈； C．小强用（分钟）爬上山顶✿◈◈，正确✿◈◈； D．爷爷出发（分钟）时✿◈◈，小强追上爷爷✿◈◈，此时距山脚240米✿◈◈，故原说法错误． 5．如图（1）是拳击训练中为测量击打力大小而设计的电路✿◈◈，电源电压恒为为的定值电阻✿◈◈，电流表量程为．压敏电阻的阻值与击打力的函数关系图象为折线）所示．已知电路中电流与压敏电阻的关系式为✿◈◈，则下列说法不正确的是（   ） A．当击打力（不超过4000N）由小变大时✿◈◈，压敏电阻的阻值逐渐变小 B．当击打力（不超过4000N）由小变大时✿◈◈，电流表的示数逐渐变大 C．当电流表示数为0.3A时✿◈◈，击打力为4000N D．当击打力为2000N时✿◈◈，电流表示数为0.15A 【答案】C 【详解】A.由题图（2）可知✿◈◈，当击打力（不超过）由小变大时✿◈◈，压敏电阻的阻值逐渐变小✿◈◈； B.由可知✿◈◈，当击打力（不超过）由小变大时✿◈◈，压敏电阻的阻值由大变小✿◈◈，电路总电阻变小✿◈◈，从而电路中的电流变大✿◈◈，故电流表的示数逐渐变大✿◈◈； C.当时✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈，结合题图（2）可知击打力不小于✿◈◈，但不一定为✿◈◈； D.由图（2）点✿◈◈，✿◈◈，可知关于的函数表达式为（）✿◈◈，故当时✿◈◈，✿◈◈，． 6．小明从家步行去书店买书✿◈◈，匀速走了一段时间后看到路旁有一辆共享单车✿◈◈，小明开锁后骑行到达书店（小明家和书店在同一条笔直的公路旁✿◈◈，距离为）✿◈◈，如图所示的是小明离家的距离y与时间x的关系✿◈◈，则小明骑行的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象分析小明的运动过程✿◈◈，确定骑行阶段的起始时间和结束时间✿◈◈，两者之差即为骑行时间． 【详解】解✿◈◈：由图象可知✿◈◈，小明在步行✿◈◈， 在停留开锁✿◈◈， 在骑行． 骑行的起始时刻为第✿◈◈，结束时刻为第． 骑行的时间为． 7．小华和小明是同班同学✿◈◈，也是邻居✿◈◈，某日早晨✿◈◈，小明7∶40先出发去学校✿◈◈，走了一段后✿◈◈，在途中停下吃了早餐✿◈◈，后来发现上学时间快到了✿◈◈，就跑步到学校✿◈◈；小华离家后直接乘公共汽车到了学校✿◈◈，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图✿◈◈，则下列说法中正确的是______． ①小明家和学校距离米 ②小华乘公共汽车的速度是米/分 ③小明从家到学校的平均速度为米/分 【答案】①② 【分析】通过图像可得小明家距离学校1200米✿◈◈，小华家也是✿◈◈，得知距离时间即可算出速度． 【详解】解✿◈◈：①✿◈◈、由图可得小明家距离学校1200米✿◈◈， ②✿◈◈、小华从家到学校用时5分钟✿◈◈，距离为1200米路程除以时间可得速度✿◈◈，即米每分钟✿◈◈， ③✿◈◈、平均速度是路程除以总时间✿◈◈，为60米/分． 8．如图✿◈◈，已知甲列车从A地出发✿◈◈，以的平均速度驶向B地✿◈◈；乙列车在甲列车出发后✿◈◈，从B地出发以320的平均速度驶向A地✿◈◈，两列车与A地的距离关于甲车行驶时间的函数如图所示✿◈◈，请根据图象回答问题✿◈◈： (1)乙车比甲车晚出发_________小时． (2)直接写出时✿◈◈，乙车与A地的距离✿◈◈，与甲行驶时间之间的函数关系式． (3)求甲列车出发多久与乙列车相遇？ 【答案】(1) (2) (3)甲列车出发小时与乙列车相遇 【分析】（1）由图象可得✿◈◈：当时✿◈◈，乙列车才开始出发✿◈◈，即可求解✿◈◈； （2）根据函数图象可得当时✿◈◈，✿◈◈，进而求得乙到达的时间✿◈◈，进而列出函数关系式✿◈◈； （3）根据题意列出方程✿◈◈，即可求解． 【详解】（1）解✿◈◈：由图象可得✿◈◈：当时✿◈◈，乙列车才开始出发✿◈◈， ∴乙车比甲车晚出发小时✿◈◈， （2）当时✿◈◈，✿◈◈； ∵✿◈◈， ∴当时✿◈◈，✿◈◈， （3）设甲列车出发x小时与乙列车相遇✿◈◈， ． 解得✿◈◈：． 答✿◈◈：甲列车出发小时与乙列车相遇． 9．如图①✿◈◈，在矩形中✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈，点P从A出发✿◈◈，沿路线运动✿◈◈，到D停止✿◈◈，点P的速度为每秒✿◈◈，a秒时点P改变速度✿◈◈，变为每秒✿◈◈，图②是点P出发x秒后的面积与x（秒）的关系图象． (1)参照图②✿◈◈，求a✿◈◈、b及图②中的c值✿◈◈； (2)设点P离开点A的路程为✿◈◈，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式✿◈◈，并求出点P到达中点时x的值✿◈◈； (3)当点P出发多少秒后✿◈◈，的面积是矩形面积的． 【答案】(1)✿◈◈，✿◈◈， (2)✿◈◈， (3)当点P出发秒或秒后✿◈◈，的面积是矩形面积的 【分析】本题主要考查了动点及相关的函数图象分析✿◈◈，运用函数图象解决动点问题． （1）根据✿◈◈，结合图象✿◈◈，得出当时✿◈◈，✿◈◈，由图象可知✿◈◈，8秒时✿◈◈，点P在B处✿◈◈，结合a的值求得b值✿◈◈，最后根据c表示的是运动总时间✿◈◈，求出c值✿◈◈； （2）由点P在6秒后开始变速✿◈◈，变速后速度为每秒✿◈◈，可求得动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式✿◈◈；当点P运动到中点时✿◈◈，可知点P离开点A的路程为✿◈◈，将代入y与x的关系式✿◈◈，即可求得x的值✿◈◈； （3）先求出矩形的面积以及的面积✿◈◈，再按照点P不同的运动阶段分类讨论✿◈◈，求出符合条件的值✿◈◈，具体分为三个阶段进行讨论✿◈◈，分别是✿◈◈：点P在上运动✿◈◈，点P在上运动✿◈◈，点P在上运动✿◈◈，其中✿◈◈：点P在上运动需要再分变速前和变速后两个阶段分别讨论． 【详解】（1）解✿◈◈：当P在边上时✿◈◈，由图得知✿◈◈：✿◈◈， 当时✿◈◈， ✿◈◈， ∴✿◈◈； 当✿◈◈，即动点P运动时间为6秒时✿◈◈，✿◈◈， ✿◈◈， ∴✿◈◈，✿◈◈； （2）解✿◈◈：由题意得✿◈◈：✿◈◈， P到达中点时✿◈◈，✿◈◈， 又∵✿◈◈， ∴✿◈◈， 即✿◈◈； （3）解✿◈◈：∵在矩形中✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈， ∴✿◈◈， ∵的面积是矩形面积的✿◈◈， ∴． ①P在段（）✿◈◈， 当时✿◈◈，P从A向B匀速运动✿◈◈，速度为1单位/秒✿◈◈， 此时✿◈◈， 若✿◈◈， 则✿◈◈，即✿◈◈，不符合题意✿◈◈，舍去✿◈◈； 当时✿◈◈，P的速度为2单位/秒✿◈◈， ✿◈◈， 若✿◈◈， 则✿◈◈，即✿◈◈，符合题意✿◈◈； ②P在段✿◈◈， 此时✿◈◈，不符合题意． ③P在CD段✿◈◈， 此时✿◈◈， 即✿◈◈， 若✿◈◈， 则✿◈◈，即✿◈◈，符合题意✿◈◈； 综上✿◈◈： 或． 当点P出发秒或秒后✿◈◈，的面积是矩形面积的． 能力综合练 练思维 10．如图✿◈◈，在物理课测量金属块A的体积实验中✿◈◈，将金属块A匀速向上提起✿◈◈，直至完全露出水面一定高度✿◈◈，下列图象中✿◈◈，适合表示容器内液面高度h与金属块A被提起的时间t的对应关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解✿◈◈：液面高度h变化✿◈◈，分三个阶段✿◈◈： 第一阶段✿◈◈：金属块A完全浸没在水中时✿◈◈，随着时间t变大✿◈◈，h不变✿◈◈； 第二阶段✿◈◈：金属块A从开始部分露出水面K8凯发娱乐✿◈◈，到完全露出水面✿◈◈，随着时间t变大✿◈◈，h逐步变小✿◈◈； 第三阶段✿◈◈：金属块A完全露出水面后✿◈◈，随着时间t变大✿◈◈，h保持不变． 故选D． 11．如图1✿◈◈，在矩形中✿◈◈，动点从点出发✿◈◈，沿运动至点停止．设点运动的路程为✿◈◈，的面积为✿◈◈，如果关于的函数图象如图2所示✿◈◈，则的最大值是（   ） A．12 B．21 C．30 D．78 【答案】B 【分析】通过分析图象中随的变化情况✿◈◈，确定点在不同边上的运动路程✿◈◈，从而求出矩形的边长✿◈◈，进而计算三角形的最大面积． 【详解】解✿◈◈：由图（2）可知✿◈◈，当时✿◈◈，随的增大而增大✿◈◈，此时点在上运动花蝶直播浪花直播蝶恋花直播✿◈◈， ✿◈◈； 当时✿◈◈，保持不变✿◈◈，此时点在上运动✿◈◈， ✿◈◈； 四边形是矩形✿◈◈， ✿◈◈； 当点在上运动时✿◈◈，的底边不变✿◈◈，高为✿◈◈，此时面积最大✿◈◈， 的最大值为． 12．如图1✿◈◈，在菱形中✿◈◈，动点从点出发✿◈◈，沿着运动至终点✿◈◈，设点运动的路程为✿◈◈，的面积为✿◈◈，若与的函数图象如图2所示✿◈◈，则图中的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】由图象上点知✿◈◈，且点在点时✿◈◈，的面积为12✿◈◈，连接交于点✿◈◈，则可求出和✿◈◈，利用勾股定理求出✿◈◈，得到． 【详解】解✿◈◈：如图1✿◈◈，连接交于点✿◈◈， 由图2知✿◈◈，当时✿◈◈，点与点重合✿◈◈，✿◈◈，的面积为12✿◈◈， 四边形是菱形✿◈◈， ✿◈◈，且✿◈◈，✿◈◈， ✿◈◈， ✿◈◈， ✿◈◈， ✿◈◈， ． 13．在清明祭英烈活动中✿◈◈，某中学组织学生代表✿◈◈，前往上海一大会址参与研学活动．队伍从学校出发✿◈◈，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达纪念馆✿◈◈，随即在馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源✿◈◈，历时50分钟．讲解结束后✿◈◈，师生换乘车辆按原路匀速返程✿◈◈，因返程高峰✿◈◈，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离校的时间为分钟✿◈◈，离学校的距离为米✿◈◈，那么下列图象能大致反映与关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三个部分✿◈◈：第一部分从学校出发前往纪念馆✿◈◈，第二部分在纪念馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源✿◈◈，第三部分从纪念馆返回学校✿◈◈，得出每个部分y随x的变化情况✿◈◈，结合函数图象可得答案． 【详解】解✿◈◈：整个函数图象可以分为三部分✿◈◈：第一部分从学校出发前往纪念馆✿◈◈，此时y随x的增大而增大✿◈◈； 第二部分在纪念馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源✿◈◈，此时y不发生变化✿◈◈； 第三部分从纪念馆返回学校✿◈◈，此时y随x的增大而减小✿◈◈，且变化的速度比第一部分的慢✿◈◈； ∴四个函数图象中✿◈◈，只有A选项中的函数图象符合题意✿◈◈； 14．边长为4的正方形的边上有一个动点P✿◈◈，从点A出发沿折线移动一周✿◈◈，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x✿◈◈，的面积为y✿◈◈，请结合下面函数图象分析✿◈◈：当时✿◈◈，y的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意可得点在正方形的边上每移动一周✿◈◈，则的值增加16✿◈◈，而（周）……10（单位长度）✿◈◈，从而可得当时✿◈◈，点位于上距离点D2个单位长度✿◈◈，最后根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解✿◈◈：点在正方形的边上每移动一周✿◈◈，则的值增加16✿◈◈， （周）……10（单位长度）✿◈◈， 当时✿◈◈，点位于上距离点2个单位长度✿◈◈，如图所示✿◈◈： ． 15．如图✿◈◈，在矩形中✿◈◈，点从点出发✿◈◈，匀速沿向点运动✿◈◈，连接✿◈◈，设点的运动距离为✿◈◈，的长为✿◈◈，关于的函数图象如图所示✿◈◈，则当点为中点时✿◈◈，的长为______． 【答案】 【分析】根据函数图象可得✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈，利用勾股定理求出的值进而即可求解． 【详解】解✿◈◈：由图可得✿◈◈：当时✿◈◈，✿◈◈，即当点的运动距离为时✿◈◈，的长为✿◈◈， ∴当时✿◈◈，✿◈◈， 由图可得✿◈◈： 当时✿◈◈，✿◈◈，即当点的运动距离为时✿◈◈，的值最大✿◈◈，最大为✿◈◈， ∵当点运动到和点重合时✿◈◈，的值最大✿◈◈， ✿◈◈，✿◈◈， 在 中✿◈◈，✿◈◈， 即✿◈◈， 解得✿◈◈， ✿◈◈， ∵点为的中点✿◈◈， ∴ ✿◈◈， ∴． 16．如图①✿◈◈，动点以每秒的速度沿长方形的边按从的路径匀速运动花蝶直播浪花直播蝶恋花直播✿◈◈，的面积与时间的关系如图②所示✿◈◈，若✿◈◈，则的值为_____． 【答案】 【分析】由图②中点及✿◈◈，可得矩形另一边的长度✿◈◈，进而根据纵坐标为的点判断出动点所在的位置✿◈◈，求得相应的的面积即为的值． 【详解】解✿◈◈：观察图②可得✿◈◈：当点运动到点时✿◈◈，运动路程为✿◈◈，运动时间为秒✿◈◈， ∵动点以每秒的速度运动✿◈◈， ∴✿◈◈， ∵✿◈◈，四边形是矩形✿◈◈， ∴✿◈◈，✿◈◈， ∴✿◈◈， ∵观察图①✿◈◈、②可知✿◈◈， 当在上运动时✿◈◈，✿◈◈， 当在上运动时✿◈◈，✿◈◈， 当在上运动时✿◈◈，✿◈◈， ∴观察图②✿◈◈，即当在上运动时✿◈◈，不变✿◈◈，即． 17．如图✿◈◈，已知长方形✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈，为长方形边上的动点✿◈◈，动点从出发✿◈◈，沿着运动到点停止✿◈◈，速度为✿◈◈，设点用的时间为秒✿◈◈，的面积为✿◈◈，和的关系如图所示． (1) ✿◈◈， ✿◈◈； (2)写出时✿◈◈，与之间的关系式✿◈◈； (3)当时✿◈◈，求的值✿◈◈； (4)当在线段上运动时✿◈◈，是否存在点使得的周长最小？若存在✿◈◈，请直接写出此时的度数． 【答案】(1)✿◈◈， (2) (3)或 (4)存在✿◈◈， 【分析】（）根据题意和函数图象解答即可求解✿◈◈； （）当时K8凯发娱乐✿◈◈，利用三角形面积公式解答即可求解✿◈◈； （）分两种情况✿◈◈：①点在上✿◈◈；②点在上✿◈◈，利用三角形面积公式构建方程解答即可求解✿◈◈； （4）延长至✿◈◈，使✿◈◈，连接交于✿◈◈，连接✿◈◈，此时△APD的周长最小✿◈◈，证出是等腰直角三角形✿◈◈，得出✿◈◈，由得到K8凯发娱乐✿◈◈，再根据三角形外角性质解答即可求解． 【详解】（1）解✿◈◈：由题意得✿◈◈：✿◈◈，✿◈◈， ∴✿◈◈； （2）解✿◈◈：当时✿◈◈，动点在线段上✿◈◈，如图所示✿◈◈： ∴✿◈◈， 即与之间的关系式为✿◈◈； （3）解✿◈◈：分两种情况✿◈◈： ①当点在上时✿◈◈，如图所示✿◈◈，则✿◈◈， 解得✿◈◈； ②当点在上时✿◈◈，如图所示✿◈◈： ∵✿◈◈， ∴✿◈◈， ∴✿◈◈， ∴✿◈◈， 当时✿◈◈，✿◈◈， 解得✿◈◈； 综上所述✿◈◈，当时✿◈◈，的值为或✿◈◈； （4）解✿◈◈：点使得的周长最小✿◈◈，理由如下✿◈◈： 延长至✿◈◈，使✿◈◈，连接交于✿◈◈，连接✿◈◈，如图所示✿◈◈： ∵✿◈◈，✿◈◈， ∴垂直平分✿◈◈， ∴✿◈◈， ∴✿◈◈， 根据两点之间线段最短✿◈◈，可知此时的值最小✿◈◈，此时的周长最小✿◈◈， ∵✿◈◈， ∴✿◈◈， ∴是等腰直角三角形✿◈◈， ∴✿◈◈， ∵✿◈◈， ∴✿◈◈， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质✿◈◈，等腰直角三角形的判定与性质✿◈◈，一次函数的图象✿◈◈，线段垂直平分线的性质✿◈◈，三角形外角性质✿◈◈，看懂函数图象是解题的关键． 拓展探究练 提素养 18．图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作一个圆✿◈◈，其上的某个座舱可视作圆上一点✿◈◈，该点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的关系如图2所示． (1)根据图2填表✿◈◈： 时间（） 0 3 6 9 15 … 高度（） 2 22 42 2 22 … (2)根据图中的信息✿◈◈，求出该摩天轮的直径✿◈◈； (3)该摩天轮运行过程中✿◈◈，在内✿◈◈，此座舱高度为的时刻有________个✿◈◈； (4)观察函数图象✿◈◈，请至少写出这个函数的2条性质． 【答案】(1)表格见解析 (2) (3) (4)①该函数以12为一个周期✿◈◈；②当时✿◈◈，随着的增大而增大✿◈◈；③时✿◈◈，随着的增大而减小✿◈◈；④函数有最大值✿◈◈；⑤函数有最小值．（答案不唯一） 【分析】（1）结合图象进行填表即可✿◈◈； （2）结合图象确定最低点和最高点✿◈◈，差值即为摩天轮的直径✿◈◈； （3）分析函数图象可知✿◈◈，摩天轮每一次循环✿◈◈，且一个周期会经过两次✿◈◈，结合的时间段✿◈◈，可得出结论✿◈◈； （4）从函数的增减性✿◈◈，最值和周期性的角度✿◈◈，分析性质即可． 【详解】（1）解✿◈◈：表格如下✿◈◈： 时间（） 0 3 6 9 12 15 … 高度（） 2 22 42 22 2 22 … （2）解✿◈◈：由图可知✿◈◈，摩天轮最低点离地面✿◈◈，最高点离地面✿◈◈， ∴摩天轮的直径为✿◈◈； （3）解✿◈◈：由图可知✿◈◈，摩天轮完成一次从最低点到最高点✿◈◈，完成一次从最高点到最低点✿◈◈，且每一次循环✿◈◈， ∴内✿◈◈，有3次从最低到最高✿◈◈，2次从最高到最低✿◈◈， ∴座舱高度为的时刻有个✿◈◈； （4）解✿◈◈：①该函数以12为一个周期✿◈◈；②当时✿◈◈，随着的增大而增大✿◈◈；③时✿◈◈，随着的增大而减小✿◈◈；④函数有最大值✿◈◈；⑤函数有最小值．（答案不唯一） 19．已知在中✿◈◈，． (1)如图1✿◈◈，若✿◈◈，✿◈◈，求长． (2)若点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止✿◈◈，图3是点运动时✿◈◈，的面积随时间变化的函数图象✿◈◈，若✿◈◈，求图3中的值． (3)如图4✿◈◈，若点从点出发✿◈◈，沿射线以的速度匀速运动✿◈◈，运动时间为✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈，若为等腰三角形✿◈◈，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或5或8 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得到的长✿◈◈，再利用勾股定理可求出的长✿◈◈； （2）根据函数图象可得✿◈◈，利用勾股定理建立方程求出的长✿◈◈，再求出的面积即可得到答案✿◈◈； （3）分三种情况✿◈◈：✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈，讨论求解即可． 【详解】（1）解✿◈◈：∵在中✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈， ∴✿◈◈， ∴✿◈◈； （2）解✿◈◈：由函数图象可知✿◈◈， 设✿◈◈，则✿◈◈， 在中✿◈◈，由勾股定理得✿◈◈， ∴✿◈◈， 解得✿◈◈， ∴✿◈◈， ∴✿◈◈， ∵点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止✿◈◈， ∴当点P与点A重合时✿◈◈，的面积有最大值✿◈◈， ∴由函数图象可知a的值即为的面积得到最大值✿◈◈，即✿◈◈； （3）解✿◈◈：由题意得✿◈◈，✿◈◈， 当时✿◈◈，此时点P在边上✿◈◈，则✿◈◈， 在中✿◈◈，由勾股定理得✿◈◈， ∴✿◈◈， 解得✿◈◈； 当时✿◈◈，在中✿◈◈，由勾股定理得✿◈◈， ∴✿◈◈； 当时✿◈◈， ∵✿◈◈，即✿◈◈， ∴✿◈◈， ∴✿◈◈； 综上所述✿◈◈，t的值为或5或8． 20．如图①✿◈◈，在长方形中✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈，点P从A出发✿◈◈，沿路线运动✿◈◈，到D停止✿◈◈；点Q从D出发✿◈◈，沿路线运动✿◈◈，到A停止．若点P✿◈◈、点Q同时出发✿◈◈，点P的速度为每秒✿◈◈，点Q的速度为每秒✿◈◈，a秒时点P✿◈◈、点Q同时改变速度✿◈◈，点P的速度变为每秒✿◈◈，点Q的速度变为每秒．图②是点P出发x秒后的面积（）与x（秒）的函数关系图象✿◈◈；图③是点Q出发x秒后的面积（）与x（秒）的函数关系图象． (1)参照图②✿◈◈，求a✿◈◈、b及图②中的c值✿◈◈； (2)求d的值✿◈◈； (3)当点Q出发______秒时✿◈◈，点P✿◈◈、点Q在运动路线上相距的路程为． 【答案】(1)✿◈◈，✿◈◈， (2)✿◈◈； (3)或 【分析】（1）分✿◈◈；✿◈◈；和✿◈◈，四种情况求解即可✿◈◈； （2）根据题意✿◈◈，得当时✿◈◈，点Q的速度改变为每秒✿◈◈，此时点Q在上运动了✿◈◈， 运动路程为✿◈◈，此时距离终点的路程为✿◈◈，运动所用时间为✿◈◈，求解即可✿◈◈； （3）设运动时✿◈◈，点P✿◈◈、点Q在运动路线上相距的路程为✿◈◈，根据题意✿◈◈，得✿◈◈；当运动时✿◈◈，点P停止运动✿◈◈，此时P✿◈◈，Q相距的路程为✿◈◈，而点P✿◈◈、点Q在运动路线上相距的路程为✿◈◈，故点Q还要运动✿◈◈，求解即可✿◈◈； 【详解】（1）解✿◈◈：当时✿◈◈，✿◈◈，且✿◈◈，✿◈◈， 此时✿◈◈， 根据图象✿◈◈，得当时✿◈◈，✿◈◈， 故✿◈◈， 解得✿◈◈； 当时✿◈◈，运动路程为✿◈◈，此时✿◈◈， 根据图象✿◈◈，得当时✿◈◈，✿◈◈， 故✿◈◈， 解得✿◈◈； 当点P在上运动时✿◈◈，✿◈◈，恒成立✿◈◈， 此时运动时间为✿◈◈：✿◈◈， 故点P运动时✿◈◈，到达点C的位置上✿◈◈， 当点P在上运动时✿◈◈，运动速度为✿◈◈，运动路程为✿◈◈， 运动时间为✿◈◈：✿◈◈， 故运动时✿◈◈，到达终点D处✿◈◈， 根据图象的意义✿◈◈，得✿◈◈； （2）解✿◈◈：根据题意✿◈◈，得✿◈◈，✿◈◈， 当点P在上运动时✿◈◈，此时运动时间为✿◈◈：✿◈◈， 故当时✿◈◈，✿◈◈，此时✿◈◈， 根据题意✿◈◈，得当时✿◈◈，点Q的速度改变为每秒✿◈◈，此时点Q在上运动了✿◈◈， 运动路程为✿◈◈，此时距离终点的路程为✿◈◈，运动用时间为✿◈◈， 故运动速度为✿◈◈：✿◈◈； （3）解✿◈◈：设运动时✿◈◈，点P✿◈◈、点Q在运动路线上相距的路程为✿◈◈， 根据题意✿◈◈，得✿◈◈， 解得✿◈◈； 当运动时✿◈◈，点P停止运动✿◈◈，此时P✿◈◈，Q相距的路程为✿◈◈， 而点PK8凯发娱乐✿◈◈、点Q在运动路线上相距的路程为✿◈◈， 故点Q还要运动✿◈◈， 由于运动速度为✿◈◈：✿◈◈， 故还需运动时间为✿◈◈：✿◈◈， 故共需要运动时间为✿◈◈； 21．如图1✿◈◈，线段✿◈◈，动点P从点A出发✿◈◈，以每秒1个单位的速度✿◈◈，沿线段AB向终点B匀速运动✿◈◈，同时✿◈◈，另一个动点Q从点B出发✿◈◈，以每秒2个单位的速度在线段AB上来回匀速运动（从点B向点A运动✿◈◈，到达点A后立即原速返回✿◈◈，向点B运动）✿◈◈，两个动点同时到达点B后停止运动．设点P的运动时间为x秒✿◈◈，PQ的长度记为y． (1)当时✿◈◈，线段________✿◈◈；当________点P与点Q相遇✿◈◈； (2)当时✿◈◈，求PQ的长度y与运动时间x之间的函数关系式✿◈◈，并补全图象（标注好关键点的坐标）✿◈◈； (3)存不存在这样的x✿◈◈，使得无论x取何值✿◈◈，为定值✿◈◈，如果存在✿◈◈，求出该定值并直接写出满足条件的x的取值范围✿◈◈，如果不存在✿◈◈，请说明理由． 【答案】(1)2✿◈◈； (2)✿◈◈，图见解析 (3)存在✿◈◈， 【分析】本题考查数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用✿◈◈，利用数形结合思想解题是关键． （1）根据运动速度以及时间分别求出✿◈◈，✿◈◈，从而得出的长度✿◈◈；设✿◈◈，✿◈◈，根据题意列一元一次方程求解即可✿◈◈； （2）设时间为x秒✿◈◈，然后分三种情况分别列出方程✿◈◈，从而求出x的值✿◈◈； （3）同（2）分三种情况求解即可． 【详解】（1）解✿◈◈：当时✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈， ∴✿◈◈； 设✿◈◈，✿◈◈， 由题意得✿◈◈， 解得✿◈◈， 故答案为✿◈◈：2✿◈◈；✿◈◈； （2）解✿◈◈：①当时✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈， ∴✿◈◈； ②当时✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈， ∴✿◈◈； ③当时✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈， ∴✿◈◈， 综上✿◈◈，✿◈◈， 补全图象如图✿◈◈： （3）解✿◈◈：存在✿◈◈， ①当时✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈， ∴✿◈◈， ∴不为定值✿◈◈； ②当时✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈， ∴✿◈◈， ∴不为定值✿◈◈； ③当时✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈， ∴为定值1✿◈◈， ∴x的取值范围是． 试卷第1页✿◈◈，共3页 试卷第1页✿◈◈，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.2认识函数的图象（第2课时） 基础过关练 夯基础 知识点1 曲线．甲醛是一种常见的室内空气污染物✿◈◈，长期接触会对人体健康造成危害✿◈◈，不少家庭会在入住新房时✿◈◈，用便携式甲醛检测仪来检测室内甲醛浓度✿◈◈，当甲醛质量浓度超过时✿◈◈，检测仪就会报警✿◈◈，这种检测仪的核心部件是气敏电阻（如图①中的）✿◈◈，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）✿◈◈，常温常压下✿◈◈，甲醛质量浓度甲醛体积浓度．下列说法不正确的是（   ） A．空气中甲醛质量浓度越大✿◈◈，的阻值越小 B．当时✿◈◈，的阻值为 C．常温常压下✿◈◈，当空气中甲醛体积浓度是时✿◈◈，检测仪报警器为报警状态 D．当时✿◈◈，检测仪报警器为报警状态 2．如图①✿◈◈，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为✿◈◈，摩天轮绕中心O按逆时针方向匀速转动．摩天轮上的一点P自最低点A点起✿◈◈，经过后✿◈◈，点P的高度h与t的函数图象如图②所示✿◈◈，在摩天轮转动的过程中✿◈◈，下列说法正确的是（    ） A．当时✿◈◈，h随t的增大而增大 B．摩天轮的直径为 C．P点离地面最高为 D．P点离地面时✿◈◈，摩天轮转动了 3．如图1✿◈◈，在中✿◈◈，✿◈◈，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点B✿◈◈，图2是点P运动时✿◈◈，的长度y（单位✿◈◈：）随时间x（单位✿◈◈：s）变化而变化的函数图象．根据所给信息✿◈◈，点C到的距离是_______． 知识点2 折线．爷爷和小强一起爬山✿◈◈，小强让爷爷先上山✿◈◈，然后追赶爷爷✿◈◈，两人都爬上了山顶．图中的两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离与小强爬山所用时间之间的函数关系．下列说法错误的是（   ） A．小强让爷爷先走了分钟 B．小强上山的速度比爷爷平均每分钟快7.5米 C．小强用10分钟爬上山顶 D．爷爷出发8分钟时✿◈◈，小强追上爷爷✿◈◈，此时距山脚240米 5．如图（1）是拳击训练中为测量击打力大小而设计的电路✿◈◈，电源电压恒为为的定值电阻✿◈◈，电流表量程为．压敏电阻的阻值与击打力的函数关系图象为折线）所示．已知电路中电流与压敏电阻的关系式为✿◈◈，则下列说法不正确的是（   ） A．当击打力（不超过4000N）由小变大时✿◈◈，压敏电阻的阻值逐渐变小 B．当击打力（不超过4000N）由小变大时✿◈◈，电流表的示数逐渐变大 C．当电流表示数为0.3A时✿◈◈，击打力为4000N D．当击打力为2000N时✿◈◈，电流表示数为0.15A 6．小明从家步行去书店买书✿◈◈，匀速走了一段时间后看到路旁有一辆共享单车✿◈◈，小明开锁后骑行到达书店（小明家和书店在同一条笔直的公路旁✿◈◈，距离为）✿◈◈，如图所示的是小明离家的距离y与时间x的关系✿◈◈，则小明骑行的时间为（    ） A． B． C． D． 7．小华和小明是同班同学✿◈◈，也是邻居✿◈◈，某日早晨✿◈◈，小明7∶40先出发去学校✿◈◈，走了一段后✿◈◈，在途中停下吃了早餐✿◈◈，后来发现上学时间快到了✿◈◈，就跑步到学校✿◈◈；小华离家后直接乘公共汽车到了学校✿◈◈，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图✿◈◈，则下列说法中正确的是______． ①小明家和学校距离米 ②小华乘公共汽车的速度是米/分 ③小明从家到学校的平均速度为米/分 8．如图✿◈◈，已知甲列车从A地出发花蝶直播浪花直播蝶恋花直播✿◈◈，以的平均速度驶向B地✿◈◈；乙列车在甲列车出发后✿◈◈，从B地出发以320的平均速度驶向A地✿◈◈，两列车与A地的距离关于甲车行驶时间的函数如图所示✿◈◈，请根据图象回答问题✿◈◈： (1)乙车比甲车晚出发_________小时． (2)直接写出时✿◈◈，乙车与A地的距离✿◈◈，与甲行驶时间之间的函数关系式． (3)求甲列车出发多久与乙列车相遇？ 9．如图①✿◈◈，在矩形中✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈，点P从A出发✿◈◈，沿路线运动✿◈◈，到D停止✿◈◈，点P的速度为每秒✿◈◈，a秒时点P改变速度✿◈◈，变为每秒✿◈◈，图②是点P出发x秒后的面积与x（秒）的关系图象． (1)参照图②✿◈◈，求a✿◈◈、b及图②中的c值✿◈◈； (2)设点P离开点A的路程为✿◈◈，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式✿◈◈，并求出点P到达中点时x的值✿◈◈； (3)当点P出发多少秒后✿◈◈，的面积是矩形面积的． 能力综合练 练思维 10．如图✿◈◈，在物理课测量金属块A的体积实验中✿◈◈，将金属块A匀速向上提起✿◈◈，直至完全露出水面一定高度✿◈◈，下列图象中✿◈◈，适合表示容器内液面高度h与金属块A被提起的时间t的对应关系是（   ） A． B． C． D． 11．如图1✿◈◈，在矩形中✿◈◈，动点从点出发✿◈◈，沿运动至点停止．设点运动的路程为✿◈◈，的面积为✿◈◈，如果关于的函数图象如图2所示✿◈◈，则的最大值是（   ） A．12 B．21 C．30 D．78 12．如图1✿◈◈，在菱形中✿◈◈，动点从点出发✿◈◈，沿着运动至终点✿◈◈，设点运动的路程为✿◈◈，的面积为✿◈◈，若与的函数图象如图2所示✿◈◈，则图中的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 13．在清明祭英烈活动中✿◈◈，某中学组织学生代表✿◈◈，前往上海一大会址参与研学活动．队伍从学校出发✿◈◈，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达纪念馆✿◈◈，随即在馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源✿◈◈，历时50分钟．讲解结束后✿◈◈，师生换乘车辆按原路匀速返程✿◈◈，因返程高峰✿◈◈，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离校的时间为分钟✿◈◈，离学校的距离为米✿◈◈，那么下列图象能大致反映与关系的是（    ） A． B． C． D． 14．边长为4的正方形的边上有一个动点P✿◈◈，从点A出发沿折线移动一周✿◈◈，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x✿◈◈，的面积为y✿◈◈，请结合下面函数图象分析✿◈◈：当时✿◈◈，y的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 15．如图✿◈◈，在矩形中✿◈◈，点从点出发✿◈◈，匀速沿向点运动✿◈◈，连接✿◈◈，设点的运动距离为✿◈◈，的长为✿◈◈，关于的函数图象如图所示✿◈◈，则当点为中点时✿◈◈，的长为______． 16．如图①✿◈◈，动点以每秒的速度沿长方形的边按从的路径匀速运动✿◈◈，的面积与时间的关系如图②所示✿◈◈，若✿◈◈，则的值为_____． 17．如图✿◈◈，已知长方形✿◈◈，✿◈◈，花蝶直播浪花直播蝶恋花直播✿◈◈，为长方形边上的动点✿◈◈，动点从出发✿◈◈，沿着运动到点停止✿◈◈，速度为✿◈◈，设点用的时间为秒✿◈◈，的面积为✿◈◈，和的关系如图所示． (1) ✿◈◈， ✿◈◈； (2)写出时✿◈◈，与之间的关系式✿◈◈； (3)当时✿◈◈，求的值✿◈◈； (4)当在线段上运动时✿◈◈，是否存在点使得的周长最小？若存在✿◈◈，请直接写出此时的度数． 拓展探究练 提素养 18．图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作一个圆✿◈◈，其上的某个座舱可视作圆上一点✿◈◈，该点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的关系如图2所示． (1)根据图2填表✿◈◈： 时间（） 0 3 6 9 15 … 高度（） 2 22 42 2 22 … (2)根据图中的信息✿◈◈，求出该摩天轮的直径✿◈◈； (3)该摩天轮运行过程中✿◈◈，在内✿◈◈，此座舱高度为的时刻有________个✿◈◈； (4)观察函数图象✿◈◈，请至少写出这个函数的2条性质． 19．已知在中✿◈◈，． (1)如图1✿◈◈，若✿◈◈，✿◈◈，求长． (2)若点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止✿◈◈，图3是点运动时✿◈◈，的面积随时间变化的函数图象✿◈◈，若✿◈◈，求图3中的值． (3)如图4✿◈◈，若点从点出发花蝶直播浪花直播蝶恋花直播✿◈◈，沿射线以的速度匀速运动✿◈◈，运动时间为✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈，若为等腰三角形✿◈◈，直接写出的值． 20．如图①✿◈◈，在长方形中✿◈◈，✿◈◈，✿◈◈，点P从A出发✿◈◈，沿路线运动✿◈◈，到D停止✿◈◈；点Q从D出发✿◈◈，沿路线运动✿◈◈，到A停止．若点P✿◈◈、点Q同时出发✿◈◈，点P的速度为每秒✿◈◈，点Q的速度为每秒✿◈◈，a秒时点P✿◈◈、点Q同时改变速度✿◈◈，点P的速度变为每秒✿◈◈，点Q的速度变为每秒．图②是点P出发x秒后的面积（）与x（秒）的函数关系图象✿◈◈；图③是点Q出发x秒后的面积（）与x（秒）的函数关系图象． (1)参照图②✿◈◈，求a✿◈◈、b及图②中的c值✿◈◈； (2)求d的值✿◈◈； (3)当点Q出发______秒时✿◈◈，点P✿◈◈、点Q在运动路线✿◈◈，线段✿◈◈，动点P从点A出发✿◈◈，以每秒1个单位的速度✿◈◈，沿线段AB向终点B匀速运动✿◈◈，同时花蝶直播浪花直播蝶恋花直播✿◈◈，另一个动点Q从点B出发✿◈◈，以每秒2个单位的速度在线段AB上来回匀速运动（从点B向点A运动✿◈◈，到达点A后立即原速返回✿◈◈，向点B运动）✿◈◈，两个动点同时到达点B后停止运动．设点P的运动时间为x秒✿◈◈，PQ的长度记为y． (1)当时✿◈◈，线段________✿◈◈；当________点P与点Q相遇✿◈◈； (2)当时✿◈◈，求PQ的长度y与运动时间x之间的函数关系式✿◈◈，并补全图象（标注好关键点的坐标）✿◈◈； (3)存不存在这样的x✿◈◈，使得无论x取何值✿◈◈，为定值✿◈◈，如果存在✿◈◈，求出该定值并直接写出满足条件的x的取值范围✿◈◈，如果不存在✿◈◈，请说明理由． 试卷第1页✿◈◈，共3页 试卷第1页✿◈◈，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $

　　23.2 一次函数的图像和性质题型专项训练 2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（人教版）

　　23.2一次函数的图象与性质（第2课时）课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

　　23.2正比例函数的图像与性质 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

　　23.2待定系数法求一次函数解析式（第3课时）课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

　　专题 22.2 函数的表示（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

　　22.2（第2课时）利用函数的图象解决实际问题（大单元分层作业）数学新教材人教版八年级下册

　　本网站一切数据✿◈◈、内容受《中华人民共和国著作权法》及相关法律法规保护✿◈◈，侵权必究✿◈◈。如存在版权争议✿◈◈，可申请版权异议✿◈◈，我们将在核实后及时处理✿◈◈。